تقویم و زمان
تقویم ایران
بانکی و مالی
نقشه و وضعیت هوا
ورزش و سلامت
ریاضی و تبدیل واحد
معادله درجه چهارم چیست؟
معادله درجه چهارم یا «معادله کوارتیک» معادلهای است که بزرگترین توان متغیر در آن چهار باشد. شکل عمومی این معادله ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 با شرط a ≠ 0 است. این معادله دقیقاً چهار ریشه دارد که هر کدام ممکن است حقیقی یا مختلط باشد، اما ریشههای مختلط همیشه بهصورت زوج مزدوج ظاهر میشوند.
تاریخچه حل تحلیلی معادله درجه چهارم به ریاضیدان ایتالیایی «لودویکو فراری» شاگرد کاردانو برمیگردد که در قرن شانزدهم روشی برای تقلیل آن به یک معادله درجه سوم و سپس دو معادله درجه دوم ابداع کرد. این تنها فرمول جبری بسته برای معادلات چندجملهای تا درجه چهار است؛ معادلات درجه پنج و بالاتر طبق قضیه آبل-روفینی بهطور کلی فرمول جبری ندارند.
الگوریتم حل معادله درجه چهارم
حسابچی برای حل معادله درجه چهارم از یک الگوریتم عددی پایدار استفاده میکند که مراحل آن بهطور خلاصه چنین است:
- تقسیم تمام ضرایب بر a تا معادله به شکل x⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0 ساده شود.
- تغییر متغیر x = t − B/4 برای حذف جمله درجه سوم و رسیدن به «معادله کاهیده» به فرم t⁴ + αt² + βt + γ = 0.
- تشکیل «حلساز کاردانو» که یک معادله درجه سوم کمکی است.
- پیدا کردن یک ریشه از معادله کمکی و سپس تجزیه کوارتیک به دو معادله درجه دوم.
- حل هر دو معادله درجه دوم با فرمول دلتا برای بهدست آوردن چهار ریشه نهایی.
برای دقت بهتر، حسابچی پس از بهدست آوردن ریشههای اولیه، یک گام «اصلاح نیوتن» را روی هر ریشه اعمال میکند تا خطای محاسباتی به کمترین مقدار ممکن برسد.
مثال: معادله بایکوادراتیک x⁴ − 5x² + 4 = 0
معادلاتی که فقط توانهای زوج x در آنها ظاهر میشوند (بدون x³ و x) را «بایکوادراتیک» مینامند. برای حل آنها از تغییر متغیر y = x² استفاده میکنیم:
- y² − 5y + 4 = 0 یک معادله درجه دوم در y است.
- با فرمول دلتا: y = 1 و y = 4.
- برگشت به متغیر اصلی: x² = 1 پس x = ±1 و x² = 4 پس x = ±2.
چهار ریشه: −2، −1، 1، 2. این مثال نشان میدهد چرا تشخیص ساختار معادله میتواند روند حل را بهطور قابل توجهی ساده کند.
حالتهای ویژه و نکات مهم
- چهار ریشه حقیقی متمایز: نمودار تابع y = ax⁴ + … محور x را در چهار نقطه قطع میکند.
- دو حقیقی و دو مختلط: نمودار محور x را در دو نقطه قطع میکند و دو ریشه دیگر بهصورت α ± βi هستند.
- چهار ریشه مختلط: نمودار اصلاً محور x را قطع نمیکند. این حالت زمانی رخ میدهد که تابع همیشه مثبت یا همیشه منفی باشد.
- ریشههای تکراری: اگر D = 0 شود، حداقل دو ریشه مساوی داریم. حسابچی بهصورت خودکار این حالت را تشخیص میدهد.