حل معادله درجه دوم

معادله درجه دوم، معادله‌ای است که بالاترین توان متغیر در آن برابر با دو است. شکل استاندارد این معادله به صورت ax² + bx + c = 0 است، که در آن a، b و c اعداد حقیقی هستند و a نباید برابر با صفر باشد.

برای حل این معادله، از فرمول کلی زیر استفاده می‌کنیم:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

عبارت زیر رادیکال، یعنی b² - 4ac، به نام دلتا (Δ) شناخته می‌شود و تعیین‌کننده تعداد و نوع ریشه‌های معادله است:

• اگر Δ > 0 باشد، معادله دارای دو ریشه حقیقی و متمایز است.
• اگر Δ = 0 باشد، معادله دارای یک ریشه حقیقی مضاعف است.
• اگر Δ < 0 باشد، معادله دارای دو ریشه مختلط (موهومی) است.

به عنوان مثال، معادله 2x² - 4x + 2 = 0 را در نظر بگیرید:

1. محاسبه دلتا: Δ = (-4)² - 4 × 2 × 2 = 16 - 16 = 0
2. با توجه به اینکه Δ = 0 است، معادله دارای یک ریشه حقیقی مضاعف است: x = -(-4) / (2 × 2) = 4 / 4 = 1

بنابراین، ریشه معادله x = 1 است.

در برخی موارد، ممکن است معادله درجه دوم به صورت‌های خاصی ظاهر شود که با استفاده از روش‌های دیگر قابل حل است. از جمله این روش‌ها می‌توان به تجزیه، مربع کامل کردن و استفاده از اتحادها اشاره کرد. به عنوان مثال، معادله x² - 5x + 6 = 0 را می‌توان به صورت (x - 2)(x - 3) = 0 تجزیه کرد که در این صورت ریشه‌ها x = 2 و x = 3 خواهند بود.

همچنین، در صورتی که معادله به صورت ax² + c = 0 باشد، می‌توان با انتقال c به طرف دیگر معادله و سپس جذرگیری، ریشه‌ها را به دست آورد. به عنوان مثال، برای معادله 3x² - 12 = 0:

1. انتقال ۱۲ به طرف دیگر: 3x² = 12
2. تقسیم بر ۳: x² = 4
3. جذرگیری: x = ±2

بنابراین، ریشه‌های معادله x = 2 و x = -2 هستند.